Étude et Construction de Certaines Classes de Codes linéaires sur les anneaux finis Présentée par
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Date
2024
Authors
Ouarda HADDOUCHE
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Abstract
Cette thèse a pour objectif d’établir les bases des codes linéaires sur une classe d’anneaux
finis. Cette recherche a été menée à la suite de plusieurs conférences nationales et internationales,
aboutissant à la publication de deux articles, l’un déjà publié et l’autre
actuellement en cours de révision.
Le premier est intitulé, " Hommogenous on weights on the ring R5,3 = F5 + u1F5 +
u2F5 + u3F5", Advances in Mathematics: Scientific Journal 11 (2022), no.11. Cet article
explore les poids homogènes en tant que généralisation des poids de Hamming pour les
anneaux finis. Une partie significative de notre travail se concentre sur l’étude de ce poids
sur R5,3, et pour définir le poids homogène sur R5,3, nous utilisons une définition du poids
homogène sur F5.
Le deuxiéme article, actuellement en cours de révision, s’intitule "Homogeneous Weight
and its Applications in Some Linear codes over Rp
s
,θ = Fp
s
+ u1Fp
s
+ . . . + uθFp
s
",soumis
à The Jordanian Journal of Mathematics and Statistics.
La premiere conférence intitulé "Simplex and MacDonald codes over R5,3", Mini-Congrès
des Mathématiciens Algériens 2021. Nous sommes intéressés à construire des codes simplex
et MacDonald sur R5,3 = F5 + u1F5 + u2F5 + u3F5, qui sont écrits par la somme des codes
simplex et MacDonald sur F5.
La deuxième conférence intitulé "Some Construction of Linear codes over R = R1R2",
Conférence Nationale de Mathématiques et Applications CNMA 2021. Dans la quelle,
nous introduisons un nouveau type de codes linéaires définis sur l’anneau R = R1R2 ou
R1 = Z4 + uZ4 est un anneau commutatif avec u
2
= 1 et R2 = Z4 + v1Z4 + v2Z4 + v3Z4, est
le deuxième anneau commutatif, avec v
i
= ξivi, ξi ∈ Z
4
et vivj = vj vi, pour 1 ≤ i = j ≤ 3.
Nous donnons les définitions de ces codes, les codes linéaires simplex et MacDonald sur
R = R1R2.
La troisieme conference intitulé "Simplex and MacDonald LCD Linear Codes over R " ,
First National Conference on Mathematics and its Applications. La mise au point a été
placée dans ce travail pour déterminer la construction des linéaires simplex et MacDonald
codes pour etre un code LCD sur R = F9 + w1F9 + w2F9 + w3F9 + w4F9 + w5F9, avec
w
2
i
= (2 + 2ϱ) wi et wiwj = wj wi = 0, 1 ≤ i = j ≤ 5, et définir des familles de codes
linéaires sur le corps fini F9 qui constituent des images de Gray des codes Simplex et
MacDonald sur R5,3.
Finalement, la conférence intitulé " Some Constructions of Linear Codes over a ring
R", the International Conference on Research in Applied Mathematics and Computer Science
ICRAMCS 2022, nous avons introduit un nouvel anneau qui est donné par le produit
cartésien de trois anneaux commutatifs finis, R = R1R2R3, avec R1 = Zq + v1Zq est un
anneau commutatif et v
2
1
= 1, R2 = Zq + v1Zq + v2Zq, R3 = Zq + v1Zq + v2Zq + v3Zq
sont deux autres anneaux commutatifs. Notre construction de ce code est donnée par la
création de matrices génératrices d’une autre manière. Un autre aspect intéressant des
codes sur cet anneau est de définir la Gray Map [21–23]. Nous utilisons deux exemples de
cette construction, les codes α-simplex et α-MacDonald sur le nouvel anneau R. Apres
on a utilisé les images Gray des codes α-MacDonald pour definir les schémas de partage
multi-secrets.